単体のモジュールとして使ってもいいですが、プラグインとして利用するのが楽です。
npm install vue-moment --save
プラグインに登録しましょう。
import moment from 'vue-moment'
Vue.use(moment)
これで好きなところで利用できるようになりました。
template内であれば
{{ $moment().format('YYYY[年]MM[月]DD[日]')} }}
のように呼出せますし、script内であれば頭にthisをつけてあげましょう。
this.$moment().format('YYYY[年]MM[月]DD[日]')}
Vue.jsに慣れていないと、意外とはまるところです。